Hallo,
bei der privaten Nutzung benötigt man keine Datenschutzrichtlinien oder ähnliches, soweit dies aktuell bekannt ist.
Sobald jedoch eine kommerzielle Nutzung vorliegt, ist man verpflichtet, auf die Nutzung der Daten hinzuweisen. Der Hoster, der also Zugriff auf alle Daten des TeamSpeak 3 Servers hat, muss den Usern mitteilen, was mit den Daten der User passiert. Werden sie aufbereitet und ausgewertet? Werden sie an Dritte weitergegeben? (Wann) Werden sie regelmäßig gelöscht?
Als Hoster selbst benötigst du eine Auftragsdatenverarbeitung (= AV) von der Firma TeamSpeak selbst. Darin wird festgelegt, welche Daten ausgetauscht werden und was damit passiert. Diese musst du nirgends ausweisen, aber wenn ein Kunde z.B. danach fragt, musst du ihm diese zeigen können.
Im offiziellen TeamSpeak Forum gibt es auch ein Thema zur DSGVO (engl. GDPR):
Any and all data gathered through the usage of the TeamSpeak Server software (including, but not limited to, log files, IP addresses etc.), the storage and usage of said data is your responsibility, respectively those of the admins of the server, as these have the sole access to that data.
Privately run servers, may not be suspect to GDPR laws (see Article 2, Section 2 c GDPR). This exemption is void if any commercial activity is conducted, regardless of whether money is involved. This includes advertisements, exchange of data for services, etc. The exemption is also not applicable if you make any private data accessible to the public. Public collections of data are always suspect to GDPR law.
This answer does not constitute legal advice and does not replace it. If you have any further questions, a lawyer or data protection officer should be consulted